Question

已知指数函数y=g(x),满足:g(-3)=1/8,定义域为R的函数f(x)=(-g(x)+n)/(2g(x)+m)

已知指数函数y=g(x),满足:g(-3)=1/8,定义域为R的函数f(x)=(-g(x)+n)/(2g(x)+m)是奇函数
(1)确定函数f(x)与g(x)的解析式
（2）若对任意的t属于R，不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0恒成立，求实数k的取值范围

Answer 1

(1)设指数函数y=g(x)=a^x，由g(-3)=1/8得：a^(-3)=1/8，所以a=2，所以g(x)=2^x
所以f(x)=(n-2^x)/(m+2^(x+1))，又函数f(x)是奇函数，所以有f(-x)=-f(x)
即f(-x)=(n-2^(-x))/(m+2^(-x+1))=(n*2^x-1)/(m*2^x+2)=-f(x)=(2^x-n)/(m+2*2^x)
上式两边对比系数得：m=2,n=1，所以f(x)=(1-2^x)/(2+2^(x+1))
(2)由(1)知：f(x)=(1-2^x)/(2+2^(x+1))，所以f(x)=1(2^x+1)-1/2，所以f(x)在x∈R是减函数
又由不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)<0得：f(t²-2t)<-f(2t²-k)=f(k-2t²)
所以t²-2t>k-2t²，即k<3t²-2t=3(t-1/3)²-1/3
因为该不等式对任意的t属于R恒成立，所以k要小于3t²-2t的最小值，即k<-1/3
所以实数k的取值范围为(-∞，-1/3)