Question

初二整式乘除与因式分解

1.已知△ABC的三边长a,b,c满足关系式-c²+a²+2ab-2bc=0，试说明△ABC是等腰三角形.
2. 1×2×3×4+1=25=5²；2×3×4×5+1=121=11²；3×4×5×6+1=361=19²...根据上述规律，小强猜想：任意四个连续正整数的积与1个的和一定是一个完全平方数.小强的结论是否正确？如果正确，请证明这个结论；如果不正确，请说明理由

Answer 1

1、解：因为-c²+a²+2ab-2bc=0
所以b²+a²+2ab=b²+2bc+c²
所以(a+b)²=(b+c)²
又a+b>0,b+c>0
所以a+b=b+c
所以a=c
所以是等腰三角形
2、解：设四个连续的数第一个为n，则
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=n(n+3)(n+1)(n+2)+1
=(n² +3n)(n² +3n+2)+1
=(n² +3n)²+2(n²+3n)+1
=(n²+3n+1)²
所以，任意四个连续正整数的积与1个的和一定是一个完全平方数

Answer 2

1、解：由于-c²+a²+2ab-2bc=0
所以，(a-c)(a+c)+2b(a-c)=(a-c)(a+c-+2b)=0
又由于三角形ABC中，三边长a>0,b>0,c>0，所以a+c+2b>0，故a-c=0。所以a=c。
所以，△ABC是等腰三角形。
2、证明：设这四个连续的正整数为n、n+1、n+2、n+3。则根据题意有：
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=n(n+3)(n+1)(n+2)+1
=(n²+3n)(n²+3n+2)+1
=(n²+3n) ²+2(n²+3n)+1
=(n²+3n+1) ²
结论正确。