Question

如图，正三角形ABC的边长为1，E、F、G分别是AB、BC、CA上的一点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为

如图，正三角形ABC的边长为1，E、F、G分别是AB、BC、CA上的一点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数的图象大致是？

Answer 1

S△ABC=√3/4
∵AE=x，∴AG=1-x，∴S△AEG=(1/2)x(1-x)·sin60º=(√3/4)x(1-x)
S△EFG=S△ABC-3S△AEG=(3√3/4)(x²-x+1/3)=(3√3/4)(x-1/2)²+√3/16
即所求函数为 y=(3√3/4)(x-1/2)²+√3/16
其图像为对称轴是x=1/2，顶点在(1/2，√3/16)的开口向上的抛物线。

Answer 2

Y关于X的函数图象:抛物线

三角形AEG全等于三角形BFE全等于三角形CGF
FC=BC-BF=1-x
三角形CGF面积=(1/2)FC*GC*sin60度=((根号3)/4)x(1-x)
三角形ABC面积=(1/2)sin60度=(根号3)/4
y=三角形ABC面积-3*三角形CGF面积=((根号3)/4)+(3(根号3)/4)(x^2-x)