Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1/4,4f（x）f（y）=f（x+y）+f(x-y)

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1/4,4f（x）f（y）=f（x+y）+f(x-y),则f(2013)=?

Answer 1

令x=1，y=0代入函数4f（x）f（y）=f（x+y）+f(x-y)，
即4f（1）f（0）=f（1）+f（1），因为f（1）=1/4，所以f（0）=1/2。
令x=1，y=1，代入函数4f（x）f（y）=f（x+y）+f(x-y)，
即4f（1）f（1）=f（2）+f（0），因为f（0）=1/2，f（1）=1/4，所以f（2）=-1/4。
令x=2，y=1代入函数4f（x）f（y）=f（x+y）+f(x-y)，
即4f（2）f（1）=f（3）+f（1），因为f（0）=1/2，f（1）=1/4，所以f（3）=-1/2。
令x=2，y=2代入函数4f（x）f（y）=f（x+y）+f(x-y)，
即4f（2）f（2）=f（4）+f（0），因为f（0）=1/2，f（1）=1/4，f（3）=-1/2，所以f（4）=-1/4。
很明显函数是一个循坏函数
下面的自己求

Answer 2

f（1）=1/4,4f（x）f（y）=f（x+y）+f(x-y)，
∴f(x)=f(x+1)+f(x-1),①
f(y)=f(1+y)+f(1-y),
令x=y，得f(x-1)=f(1-x),
以x+1代x,得f(x)=f(-x),
∴f(x)是偶函数.
由①，f(0)=f(1)+f(-1)=1/2,
f(x+1)=f(x)-f(x-1),
f(2)=f(1)-f(0)=-1/4,
f(3)=f(2)-f(1)=-1/2,
f(4)=f(3)-f(2)=-1/4,
f(5)=f(4)-f(3)=1/4,
f(6)=f(5)-f(4)=1/2,
f(7)=f(6)-f(5)=1/4,
∴f(n)以6为周期。2013=335×6+3，
∴f(2013)=f(3)=-1/2.

Answer 3

令x=1,y=0
得：4f(1)f(0)=2f(1)
f(0)=2*1/4=1/2
令 y=1
得 f(x)=f(x+1)+f(x-1)
f(x-1)=f(x)+f(x-2)
上面2式相加得 f(x+1)+f(x-2)=0
f(x-2)+f(x-5)=0
式子“f(x+1)+f(x-2)=0” 减掉“f(x-2)+f(x-5)=0”得
f(x+1)=f(x-5)
f(x)周期为6
f(2013)=f(6*335+3)=f(1)=1/4

Answer 4

追问

写的……什么字——

追答

对不起，小时候没有学好。