Question

已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(2)=1

(1)求f(1)
(2)若f(x)+f(2x-1)≤2，求x的取值范围
像之一类的题目我不太会做，希望回答者可以有详细过程，最好给多几道类似的题目给我，谢谢！

Answer 1

这类题目主要就是用特值法进行解答。
（1）这一小题完全是用特值法
由于要求的是f(1),所以很容易能想到f(1+1)=f(1)+f(1),
所以f(1)=1/2.
(2）这类题要结合f(x)是增或减函数来解。
由f(x)+f(2x-1）=f(3x-1)≤2,又f(x)是定义在R上的增函数，可以想到，如果2是一个函数值就可以了。可以想到f(2)=1=2/2.所以f(4)=f(2)+f(2)=2.即f(3x-1)≤2=f(4),又f(x)是定义在R上的增函数,所以3x-1≤4,得x≤5/3。
这种题如果是在填空选择里就不用这么麻烦了，仍然使用特值法，根据函数规律选取特殊函数来解。像上面这道题可选f(x)=1/2x,同样是这样的结果，用在填空选择就快多了。
类似的题目有很多啊，像f(x+y)=f(x)f(y),f(xy)=f(x)+f(y)之类的，到网上搜一下特值法高中数学之类的词应该会有很多题的，找你们老师要也可以啊。。。

Answer 2

(1)
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)=1
所以f(1)=1/2
(2)因为f(3)=f(2)+f(1)=1+1/2=3/2
所以f(2)=f(3)+f(-1)
f(-1)=f(2)-f(3)=-1/2
f(x)+f(2x-1)=3f(x)+f(-1)≤2
f(x)≤5/6
又f(1)=3f(1/3)=1/2,所以f(1/3)=1/6
故f(5/3)=5/6,而且函数f(x)是定义在R上的增函数
所以x的取值范围：（负无穷大，5/3]

Answer 3

（1）令 x=y=1，f(2)=2f(1)=1，f(1)=1/2
(2) 2=2f(2)=f(4)，f(x)+f(2x-1) = f(3x-1)，
则 f(x)+f(2x-1)<=2 即为 f(3x-1)<=f(4)
又f(x)是R上的单増函数， 3x-1<=4，x<=5/3 。

Answer 4

（1,）令x=1,y=1,则，f(2)=2f(1)=1,所以f(1)=0.5
(2)令x=2,y=2,则f(4)=2f(2)=2,因为f(x)为增函数，所以f(x)+f(2x-1)小于等于f(4),f(3x-1)≤f(4),所以3x-1≤4,3x-1小于等于4，所以x≤3分之5