Question

高数：拐点是可导点吗？为什么求拐点的时候要找导数不存在的点？

Answer 1

分情况的。

拐点可能是下列3类点：

一阶导数不存在的点；

一阶导数存在，而二阶导数不存在的点（这类问题比较少见）；

二阶导数存在时,二阶导数为0的点。

拐点是凹凸分界点，是二阶导数为0 的点。 二阶导数大于0，曲线上凹，反之，上凸。 三阶导数大于0的点肯定是拐点的情况，必须要求在这点二阶导数等于0。 

因为三阶导数大于0，二阶导数单调，在这点二阶导数等于0，在这点左右二阶导数符号发生变化，凹凸性发生变化。小于0 的情况亦然。

扩展资料：

一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）。如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点。

所以就拐点的定义而言，没说只有可导点才能是拐点。只要满足该点的两边凹凸性改变了，就是拐点，无论可不可导。

可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：

⑴求f''(x)；

⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；

⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点  ，检查f''(x)在  左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点( ,f(  ))是拐点，当两侧的符号相同时，点(  ,f(  ))不是拐点。

参考资料：百度百科——拐点

Answer 2

例如函数

这个函数在x=0点连续但是不可导。

而这个函数在x＜0的时候是凹函数，

在x＞0的时候是凸函数。

所以x=0是这个函数的拐点。

所以拐点可能是不可导的点。

追问

百科中说它的充要条件是该点导数为0，这不是要求可导了

追答

拐点的必要条件：设f(x）在（a,b）内二阶可导，x0∈（a,b），若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，则f‘’（x0)=0。
拐点的充分条件：设f(x）在（a,b）内二阶可导，x0∈（a,b），则f‘’（x0)=0，若在x0两侧附近f‘’(x0)异号，则点(x0,f(x0))为曲线的拐点。否则（即f‘’(x0)保持同号，(x0,f(x0))不是拐点。
注意，这些条件都有个前提，就是对可导函数而言的。
所以如果不是可导函数，那么这些条件就不适合了。而刚才我举的f（x）就是在x=0点不可导，是不适应这些判别方法。

这是拐点的最原始的定义：
一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）。如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点。
所以就拐点的定义而言，没说只有可导点才能是拐点。只要满足该点的两边凹凸性改变了，就是拐点，无论可不可导。

百度百科上求拐点的方法：
拐点的求法（摘录自高等数学同济5版上册第149页）
可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：
⑴求f''(x)；
⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；
⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f''(x)在x0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0,f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0,f(x0))不是拐点。
这也说明拐点可能是不可导点。此外，拐点就算可导，拐点的一阶导数并不一定是为0，是拐点二阶导数存，则二阶导数为0.
例如f（x）=sinx，x=0就是其一个拐点，x=0的左边，图像是凹的，x=0的右边，图像是凸的，而且f（x）在x=0点可导，但是一阶导数是为1，二阶导数才是0

Answer 3

拐点可能是下列3类点：
一阶导数不存在的点,
一阶导数存在,而二阶导数不存在的点（这类问题比较少见）,
二阶导数存在时,二阶导数为0的点.
拐点是凹凸分界点，是二阶导数为0 的点，。 二阶导数大于0，曲线上凹，反之，上凸。 三阶导数大于0的点肯定是拐点的情况，必须要求在这点二阶导数等于0,。 因为三阶导数大于0，二阶导数单调，在这点二阶导数等于0，在这点左右二阶导数符号发生变化，凹凸性发生变化。小于0 的情况亦然。

Answer 4

拐点不一定是可导点

追答

如y=|x|在x=0处是拐点，但不是可导点

追问

百科中说拐点导数等于0，这不是要求拐点可导了吗

追答

拐点是二阶导数为零

追问

y=|x|又没有凹凸性