Question

数列{an},a1=1，a(n+1)=2an-n^2+3n

数列{an},a1=1，a(n+1)=2an-n^2+3n
1）是否存在常数λ，μ，使得数列{an+λn^2+μn}是等比数列，若存在，求出λ，μ的值，若不存在说明理由

Answer 1

a(n+1)=2an-n^2+3n=2an+(n+1)^2-(n+1)-2n^2+2n
将(n+1)^2-(n+1)移过去得a(n+1)-(n+1)^2+(n+1)=2（an-n^2+n）
再两边同除（an-n^2+n）得a(n+1)-(n+1)^2+(n+1)/（an-n^2+n）=2
所以当λ=-1，μ=1数列{an+λn^2+μn}是等比数列

Answer 2

假设存在，则要满足递推关系q必等于2，可以得到a(n+1)=2a(n)+λn2+(μ-2λ)n-μ-λ ① ;
a(n+1)=2an-n2+3n②
比较①②用待定系数法得到三个关于λ，μ的方程，取其中两个解出λ=-1，μ=1值，令一个验算
这种题解题思路一般是假设成立，运用结论条件+题干已知条件求出所要值，再验算假设是否成立

Answer 3

a(n+1)
=2an-n^2+3n
=2an+(n+1)^2-(n+1)-2n^2+2n
移项，得
a(n+1)-(n+1)^2+(n+1)=2[an-n^2+n]
数列an-n^2+n是等比数列
所以两未知数等于1

Answer 4

λ=-1,μ=1 过程是这个样子的：如果想要证明新数列是否为等比数列 那么直接按照等比数列的定义：用n+1项除以第n项看结果能否为一常数 ；其中n+1项中的a(n+1)用 an的代数式代入... 上下两边整理成(xan+yn^2+zn)的形式 对应项成比例2的关系 代入就能得出一个方程组；然后检验得到的λ，μ，是否正确