Question

一道高中数学题~~求高手解答~~

已知函数f(x)=ax的平方+bx+c ,函数g(x)=f(x)-1/2[f(1)+f(3)],
(1)若f(-1)=0，f(0)=0，求出函数f(x)的零点;
(2)若f(x)满足a>0且f(x-1)-f(-x-1);又g(x)在区间[-2,2]上的最大值为-1，求g(x)的表达式;
(3)若f(1)≠f(3),证明方程g(x)=0必有一个实数根位于区间(1,3)

Answer 1

（1）若f(-1)=0，f(0)=0,则f(x)的零点为-1,0
注：该小问是不是弄错了，实际上可求出g(x)的零点，只要由f(-1)=0，f(0)=0，可得b=a,c=0
所以g(x)=a(x^2+x-7),其零点为(-1+√29)/2和(-1-√29)/2
(2)由f(x-1)=f(-x-1)，可知f(x)关于x=-1对称(-b/2a=-1)
g(x)=ax^2+bx-(5a+2b),所以对称轴和f(x)一样，即 -b/2a=-1，再对称性知g(2)=-1
可求出a=1,b=2 ∴g(x)=x^2+2x-9
(3)g(1)=1/2[f(1)-f(3)], g(3)=1/2[f(3)-f(1)],且f(1)≠f(3)
所以g(1)g(3)<0，所以方程g(x)=0必有一个实数根位于区间(1,3)

Answer 2

分成两个三角形，1.
OAB,面积为
1/2，
2.
PAB,
P点坐标为
(（1-m)/(m^2+1),
(m+1)/(m^2+1)
),
A坐标为
（0，1），B坐标为（1，0），因为两条线的斜率的积为-1，
PA垂直PB。
三角形PAB的面积可以用M表示，S也可用m表示。不用计算，可以估计出S最大的面积应该是1，最小面积应该为1/2，第二问即可简单解出