Question

设n 阶矩阵a 的每行元素之和为c ,每列元素之和为d

Answer 1

题目不清晰，找了些类似的例子。

设n阶矩阵A的每列元素之和都为常数a,m为正整数,试证明A^m的每列元素之和也是一个常数，并求该常数
解：
由题目知道, A^T (1,1,...,1)^T = a(1,...,1)^T
即 a 是A^T 的特征值, (1,...,1)^T 是A的属于特征值a的特征向量
所以 a^m 是 (A^T)^m 的特征值, (1,1,...,1) 是(A^T)^m的属于特征值a^m的特征向量
因为 (A^T)^m = (A^m)^T
所以有 (A^m)^T (1,1,...,1)^T = a^m (1,1,...,1)^T
即有 A^m 的每列元素之和为常数 a^m.

设n阶可逆矩阵A中每行之和元素为常数a,证明A^(-1)的每行元素之和为a^(-1)
证明：
令列向量x=（1 1.1)^-1
则由题意可知Ax=（a a.a)^-1
上式两边同乘A^-1可得
x=A^(-1)*(a a……a)^-1,两边同除a得
（1/a)x=A^(-1)(1 1.1)^(-1)
积（1/a 1/a.1/a)=A^(-1)(1 1.1)^(-1)
所以A^-1的每行元素之和为1/a