Question

如图在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm

如图在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm，动点E以2cm/s的速度从点A向点C运动（与点A、 C不重合），过点E作EF//AB交BC于F点。
（1）求AB的长；
（2）设点E出发X秒后，线段EF的长为ycm.
①求Y于X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；
②试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若存在，请说出共有几个，并求出相应X的值；若不存在，请简要说明理由。

Answer 1

解：1）：AB**2=8*8+6*6=100
AB=10cm
2：y**2=(8-2x)**2+(6-1.5x)**2=6.25x**2-40x+100
在AB上仅存在一个点能使△EFP为等腰直角三角形，通过EF的中垂线与AB的交点中只有使EF与AB之间的距离为EF的一半时才能使△EFP为等腰直角三角形，这样的点只能有一个。

Answer 2

解：（1）AB²=6²+8²
AB=10cm
（2）△ABC与△AEF相似
EF：AB=CE：CA
①y=10*（8-2x）/8
②做AB边的中线，中线上所有点做AB边的垂线，垂足都可以是P点
设EF与中线焦点为G
CP=5cm
x=GP*0.8

Answer 3

过点d作de⊥ab，垂足为e，连接bd，则
cd=de
在rt△bcd和rt△bed中，
∵cd=de，bd=bd
∴rt△bcd≌rt△bed
∴bc=be=6(cm)
在rt△abc中，ab=√（ac^2+bc^2）=√（8^2+6^2）=10（cm）
∴ae=4cm
设cd=xcm，则ad=(8-x)cm，de=xcm
在rt△ade中，根据勾股定理，可得
ae^2+de^2=ad^2
即(10-x)^2+x^2=(8-x)^2
解得x=3
即cd=3cm

Answer 4

过E向AB作垂线交AB于K。
求有交点即为求EK的长度与等腰三角形的高度相同！
EC/EF=AC/AB
=>EF=EC*AB/AC
=>EF=(8-2T)*10/8 （T为时间变量，且设A为起点）
=>EF=(4-T)*5/2
设等边三角形的高度为h
(EF/2)/h=tan30°
h=(EF/2)/√3
h=(4-T)*5/2√3

SIN∠A =BC/AB=EK/AE
=>EK=BC*AE/AB

设h=EK
=>h=BC*AE/AB
=>(4-T)*5/2√3=6*2T/10
=>T=100/(25+12*√3)
=>T=2.18414

再确定T在0-5的范围就知道是否有几个交点。
本题只有一个交点