Question

请问f(x乘y)=f(x)+f(y)能否证明这是一个对数函数？

Answer 1

可以利用导数来证明这个函数是对数函数，

Answer 2

不能，其他的函数也可能有这个性质

Answer 3

可以证明的。
高中阶段，直接用对数函数的一些结论，回避对数函数 ，

Answer 4

不是只有对数函数满足这个性质。不过高中阶段可以套用对数函数来做，心里清楚就好，不能写在答题纸上，解答过程还是得按这个性质推导。

Answer 5

f(x)=f(x/2)*f(x/2)=[f(x/2)]²≥0 ∴lnf(x+y)=lnf(x)+lnf(f) 令g(x)=lnf(x) ∵f(x)连续 ∴g(x)连续 且g(x+y)=g(x)+g(y) 由柯西定理g(x)=xg(1) ∴lnf(x)=xlnf(1) ∴f(x)=e^[x*lnf(1)]=e^[lnf(1)^x]=[f(x)]^x 令f(1)=a>0 则f(x)=a^x ∴f(x)是指数函数