Question

如何证明是线性空间，并求出它的一组基

Answer 1

所谓基,就是向量组的向量均线性无关,而且任何一个向量可以由这个向量组线性表示出.
现在设a1,a2,...an是一组基,b1,b2...bn是另一组基；
因为a1,a2,...an是一组基,所以b1,b2...bn中任何一个向量都可以用a1,a2,...an线性表示,因此r(a1,a2,...an)>=r(b1,b2...bn)
同理可证r(b1,b2...bn)>=r(a1,a2,...an)
所以只能是r(b1,b2...bn)=r(a1,a2,...an)
即线性空间的任意两个基都等秩

Answer 2

证明： ∫(2π,0) sinnx sinmxdx=，，， ∫(2π,0) cosnx cosmxdx=，，， ∫(2π,0) sinnx cosmxdx=，，， 当 m ≠ n 时， ∫(2π,0) sinnx sinmxdx= = (1/2) * ∫(2π,0) [ cos( m-n)x - cos( m+n)x ] dx = (1/2) * (2π,0) [ sin( m-n)x /(m-n) - sin( m+n
1. n阶全体对称矩阵所成的线性空间的维数是 (n^2 - n )/2 + n.
其实就是主对角线上的元素个数 + 主对角线上方的元素个数.
这些元素所在的位置, 唯一确定一个对称矩阵, 所以有:

2. 设 eij 为 第i行第j列位置是1其余都是0的n阶方阵.
则 n阶全体对称矩阵所成的线性空间的一组基为:
{ eij, i,j = 1,2,...,n, i <= j }