Question

1+1等于几

这个等于几

Answer 1

如果是IQ题:

1+1=2

1+1=11

1一11=1111(拆+号)

1+一+1+1=4(拆+号)

11二=112(拆=号)

1+1+2=4(拆=号)

1一11二=11112(拆+,=号)

1+一+1+1+2=6(拆+,=号)

*所以1+1不一定等於2,多思考就可以想到更多*

如果是数学题:

1+1=？

资料如下：

不要小看这个公式，1+1=2登上科学界‘最伟大公式’之一。

有不少人都可能曾经问过"为何1+1=2？"这个看似多馀(!?)的问题。现在我尝试向有兴趣的网友简单介绍一下怎样在公理集合论的框架内证明 "1+1=2& quot; 这句对绝大多数人来说都"颠扑不破"的数学述句。首先，大家要知道在集合论的脉络中我们讨论的对象是各式各样的集合（或类 (class)，它们和集合的分别在此不赘），故此我们经常碰到的自然数在这里也是以集合（或类）来定义。例如我们可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised Ed., Ch. 6, §43-44)：

0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}

1 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε0)}

2 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε1)}

〔比如说，如果我们从某个属於1这个类的分子拿去一个元素的话，那麼该分子便会变成0的分子。换言之，1就是由所有只有一个元素的类组成的类。〕

现在我们一般采用主要由 von Neumann 引入的方法来界定自然数。例如：

0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},

2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}

[Λ为空集]

一般来说，如果我们已经构作集n, 那麼它的後继元(successor) n* 就界定为n∪{n}。

在一般的集合论公理系统中（如ZFC）中有一条公理保证这个构作过程能不断地延续下去，并且所有由这构作方法得到的集合能构成一个集合，这条公理称为无穷公理(Axiom of Infinity)(当然我们假定了其他一些公理（如并集公理）已经建立。

〔注：无穷公理是一些所谓非逻辑的公理。正是这些公理使得以Russell 为代表的逻辑主义学派的某些主张在最严格的意义下不能实现。〕

跟我们便可应用以下的定理来定义关於自然数的加法。

定理：命"|N"表示由所有自然数构成的集合，那麼我们可以唯一地定义映射A：|Nx|N→|N，使得它满足以下的条件：

(1)对於|N中任意的元素x，我们有A(x,0) = x ；

(2)对於|N中任意的元素x和y，我们有A(x,y*) = A(x,y)*。

映射A就是我们用来定义加法的映射，我们可以把以上的条件重写如下：

(1) x+0 = x ；(2) x+y* = (x+y)*。

现在，我们可以证明"1+1 = 2" 如下：

1+1

= 1+0* (因为 1:= 0*)

= (1+0)* (根据条件(2))

= 1* (根据条件(1))

= 2 (因为 2:= 1*)

〔注：严格来说我们要援用递归定理(Recursion Theorem)来保证以上的构作方法是妥当的，在此不赘。]

1+ 1= 2"可以说是人类引入自然数及有关的运算後"自然"得到的结论。但从十九世纪起数学家开始为建基於实数系统的分析学建立严密的逻辑基础後，人们才真正审视关於自然数的基础问题。我相信这方面最"经典"的证明应要算是出现在由Russell和Whitehead合著的"Principia Mathematica";;;;;;; ;;;;;中的那个。

我们可以这样证明"1+1 = 2"：

　首先，可以推知：

αε1<=> (Σx)(α={x})

βε2 <=> (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y))

ξε1+1 <=> (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))

所以对於任意的集合γ，我们有

　γε1+1

<=>(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))

<=>(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y))

<=> γε2

根据集合论的外延公理(Axiom of Extension)，我们得到1+1 = 2。]

证明: 1+1=2

1先瞭解peano 公设：所谓自然数,就是满足下列条件,

a.一集合N 中,有元素n,及後继元素n+,n+与n 对应.

b.元素e 必定属於N 中.

c.元素e 在N 中不为任一元素的後继元素.

d.N 中的元素,a+=b+则a=b.(元素唯一)

e.(归纳公设)S 为N 的子集,e 属於S,n 属於S,n+也属於S.那麼S=N.

N 就是我们说的自然数集合.

其中我们规定e:=1, e+:=2, (e+)+:=3,.....以此类推.

2. 再来定义加法,

加法(+)为一函数,这函数满足两个条件

1.(+)(n,e)=n+ 写成大家熟悉的式子1.n(+)e=n+

2.(+)(n,m+)=((+)(n,m ))+ 2.n(+)m+=(n(+)m)+

满足上面条件的函数(+),我们称为加法+.(+):=+

满足这两条件的函数是可以证明存在且唯一：证明如下

因为(+)(e,e)=e+

e(+)e=e+

所以1+1=2 得证.

存在：

e, e+ ,(e+)+,…… 即所有自然数

唯一：

n N " Î ，

+(n,e)=n+

+(n,e+)=(+(n,e))+

+(n,e+)+)=………

故(+)存在且唯一

上述证明翻成白话文如下：

自然数系依加法运算分别是：1，1+，(1+)+，……。而这些1+，（1+）+，…就用符号2，3，...

表示，所以1 + 1指的是1後面那一个数字，也就是1+，自然就是2。

为什麼会有Peano 公设，及定义加法，这起源於十九世纪末，二十世纪初，Hibert，Brouwer，因物理上狭义相对论，及量子论推翻了物理旧基础，而数学家们因此想证明，数学是有坚固基础，是不变的真理。所以希望能从逻辑上建立一个完整、严密的基础，於是第一个当然针对自然数系开始，希望能像欧氏几何一样，从基本公设，经由逻辑就可以得到完整的自然数系性质，所以归结出Peano 五个公设（其实後人把它进一步归结成三个），而罗素与他的老师怀海德合写<<数学原理>>三大卷，就是做了一部份工作。Hilbert 拟了一连串计画要把数学的基础转化成逻辑，这样一来，数学家就可以宣称「数学是真理」。不幸的是，1929年Godel 23岁时证明了一个定理：

不完全性定理：

如果有一个系统包含算术，而且这一系统的基本假设并不会互相矛盾，那麼这个系统中一定存在一个命题，这一个命题的肯定或否定都无法证明。所以数学并不只是逻辑。当然「1 + 1 = 2」的证明是否很有意义，可以从Godel的定理来看看。

简单的方法：

1+1=2。。。(1+1)-1=2-1。。。1=1成立

1+1>2。。。(1+1)-1>2-1。。。1>1不成立

1+1<2。。。(1+1)-1<2-1。。。1<1不成立

Answer 2