Question

函数f(x)=x²－2|x|－a－1（a∈R）的零点个数

Answer 1

解：

f(x)=x²-2|x|-a-1=|x|²-2|x|+1-a-2=(|x|-1)²-a-2

令f(x)=0

(|x|-1)²-a-2=0

(|x|-1)²=a+2

平方项恒非负，(|x|-1)²恒≥0

分类讨论：

(1)、a+2<0时，即a<-2时

等式恒不成立，方程无解。f(x)函数图像无零点

(2)、a+2=0时，即a=-2时

|x|-1=0

|x|=1

x=1或x=-1，f(x)函数图像有两个零点

(3)、0<a+2<1时，即-2<a<-1时

|x|-1=√(a+2)或|x|-1=-√(a+2)

|x|=1+√(a+2)或|x|=1-√(a+2)

0<a+2<1，1+√(a+2)>0，1-√(a+2)>0

方程有4个不同的解，f(x)函数图像有4个零点

(4)、a+2=1时，即a=-1时，

|x|-1=1或|x|-1=-1

|x|=2或|x|=0

x=2或x=-2或x=0

方程有3个不同的解，f(x)函数图像有3个零点

(5)、a+2>1时，即a>-1时

|x|=1+√(a+2)或|x|=1-√(a+2)(舍去)

x=1+√(a+2)或x=-1-√(a+2)

方程有两个不同的解，f(x)函数图像有2个零点。

综上，得：

a<-2时，函数图像无零点；

a=-2或a>-1时，函数图像有2个零点；

a=-1时，函数图像有3个零点；

-2<a<-1时，函数图像有4个零点。