Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b属于R,a>0),设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b属于R,a>0),设方程f(x)=x的两个实数根为X1和X2
1)如果X1小于2小于X2小于4,设函数f(x)的对称轴为X=X0,求证:X0>-1
2)如果/X1/小于2,/X2-X1/=2,求b的范围

Answer 1

1),证明：
f(x)=ax^2+bx+1，方程f(x)=x的两个实数根为X1和X2，
即 方程 ax^2+(b-1)x+1=0有两实根X1和X2。
所以 X1+X2=(1-b)/a ， X1X2=1/a。

函数f(x)=ax^2+bx+1的对称轴为X=X0，
所以 X0=-b/2a，-b/a=2X0 。
所以 X1+X2=(1-b)/a=1/a-b/a=X1X2+2X0，
X1+X2-X1X2=2X0。
又 X1<2<X2<4，且a>0，X1X2=1/a>0
所以 0<X1<2<X2<4，2<X1+X2<6 ， 0<X1X2<8。
所以 X1+X2-X1X2>-2。
所以 X0>-1。
2），|X1|<2，|X2-X1|=2,
(X2-X1)^2=(X1+X2)^2-4X1X2=4
[(1-b)/a]^2-4/a=4
(1-b)^2=4a^2+4a=(2a+1)^2-1

Answer 2

1),证明：
f(x)=ax^2+bx+1，方程f(x)=x的两个实数根为X1和X2，
即方程ax^2+(b-1)x+1=0有两实根X1和X2。
所以X1+X2=(1-b)/a，X1X2=1/a。
函数f(x)=ax^2+bx+1的对称轴为X=X0，
所以X0=-b/2a，-b/a=2X0。
所以X1+X2=(1-b)/a=1/a-b/a=X1X2+2X0，
X1+X2-X1X2=2X0。
又X1<2<X2<4，且a>0，X1X2=1/a>0
所以0<X1<2<X2<4，2<X1+X2<6，0<X1X2<8。
所以X1+X2-X1X2>-2。
所以X0>-1。
2），|X1|<2，|X2-X1|=2,
(X2-X1)^2=(X1+X2)^2-4X1X2=4
[(1-b)/a]^2-4/a=4
(1-b)^2=4a^2+4a=(2a+1)^2-1

Answer 3

Answer 4

用韦达定理-a/b c/b