Question

如图，矩形ABCD中，AB = 8，BC = 10，点P在矩形的边DC上由D向C运动．沿直线AP翻折△ADP，形成如下四种情形

如图，矩形ABCD中，AB = 8，BC = 10，点P在矩形的边DC上由D向C运动．沿直线AP翻折△ADP，形成如下四种情形．设DP = x，△ADP和矩形重叠部分（阴影）的面积为y
（1）如图丁，当点P运动到与C重合时，求重叠部分的面积y；
（2）如图乙，当点P运动到何处时，翻折△ADP后，点D恰好落在BC边上？这时重叠部分的面积y等于多少？

Answer 1

有意思，让我又有了回到初中时代的感觉。下面是解答过程：
（1）从丁图中可以看出，DP =8， 阴影部分的面积y= 1/2（ EC*AB）设EC为z，你现在就是要用一个方程解出z。在△ABE中BE=10-z， AE=z（任何一个长方形艳对角线对折得出的阴影部分的三角形是等腰△）。在△ABE中用勾股定理8^2+（10-z）^2 =z^2， 解出z=8.2 所以阴影面积y=1/2（ EC*AB）=32.8
（2）从图中可以看出y=1/2（x*AD）而AD=10，所以你的任务就是求出x是多少
你可以把x放到△D’PC中用勾股定理求，而D’C你又要通过△ABD’求，接下来是求解过程。
在△ABD’中用勾股定理BD’^2=10^2-8^2，解出BD’=6，进而得出D’C=10-6=4
在 △D’PC中x^2=（8-x）^2+4^2 解得x=5 y=1/2（x*AD）=25
所以当p点运动到DP=5时，D点恰好落到BC上，此时阴影部分面积为25

希望我的解答够清楚，对你有帮助，如果你还有问题可以随时问我。

Answer 2

解：（1）由题意可得∠DAC=∠D′AC=∠ACE，∴AE=CE．
设AE=CE=m，则BE=10-m．
在Rt△ABE中，得m2=82+（10-m）2，∴m=8.2．
∴重叠部分的面积y=
1212•CE•AB=12×8.2×8=32.8（平方单位）．
（另法：过E作EO⊥AC于O，由Rt△ABC∽Rt△EOC可求得EO）．

（2）由题意可得△DAP≌△D′AP，
∴AD′=AD=10，PD′=DP=x．
在Rt△ABD′中，∵AB=8，∴BD′=102-82=6，于是CD′=4．
在Rt△PCD′中，由x2=42+（8-x）2，得x=5．
此时y=12•AD•DP=12×10×5=25（平方单位）．
表明当DP=5时，点D恰好落在BC边上，这时y=25．
（另法：由Rt△ABD′∽Rt△PCD′可求得DP）．