Question

抛物线 试题 .设A，B是抛物线Y²=2PX（P>0）上的两点，满足OA┴OB。求证AB经过定点。

Answer 1

设P(X,0)为直线AB所过的定点，且X>0。A(X1,Y1),B(X2,Y2).
因为y²=2px，所以A(Y1²/2P,Y1),B(Y2²/2P,Y2).
因为直线OA,OB垂直，所以它们的斜率乘积为-1，得-4P²=Y1*Y2.
再根据A,B两点，可得AB直线方程Y=(2P/(Y1+Y2))*(X-(Y1²/2P))+Y1.
因为P点在直线AB上，把P点坐标代入直线AB方程，在根据-4P²=Y1*Y2，两方程连立，整理得(2PY1*(X-2P))/(Y1²-4P²)=0
要使方程成立，只有当Y1²不等于4P²时，X=2P.
当Y1²=4P²时，代入原抛物线方程，得X=2P.
所以得证：直线AB过抛物线对称轴上的一定点为（2P,0).