Question

数列an=n*（1/2）^n 求证1/2≤Sn＜2 急！！！！

an=n*（1/2）^n 求证1/2≤Sn＜2

Answer 1

an=n*（1/2）^n
a1=1/2，S1=1/2
a2=2*(1/2)²=2/4=1/2，S2=1
a3=3*(1/2)³=3/8，S3=11/8
……
Sn=n*（1/2）^n+（n-1）*（1/2）^（n-1）+……+3/8+2/4+1/2
=1/2+1/4+1/8+……+（1/2）^n + 1/4+1/8+……+（1/2）^n + 1/8+……+（1/2）^n +……+（1/2）^（n-1）+（1/2）^n+（1/2）^n
=1-（1/2）^n+1/2-（1/2）^n+1/4-（1/2）^n+1/8-（1/2）^n+……+（1/2）^（n-2）-（1/2）^n+（1/2）^（n-1）-（1/2）^n
=2-（1/2）^（n-1）-n*（1/2）^n
=2-(n+2)*（1/2）^n
Sn=2-(n+2)*（1/2）^n＜2
且数列an=n*（1/2）^n值均为正，所以Sn≥S1=a1=1/2
证得1/2≤Sn＜2