Question

函数f(x)=cos2x+6cos（π/2-x）的最大值是

Answer 1

结果为：5

解题过程如下图：

函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大（小)值的几何意义——函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值。

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无论是正比例函数，即：y=ax（a≠0） 。还是普通的一次函数，即：y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意实数），只要x有范围，即z<或≤x<≤m（要有意义），那么该一次函数就有最大或者最小或者最大最小都有的值。而且与a的取值范围有关系

当a<0时

当a<0时，则y随x的增大而减小，即y与x成反比。则当x取值为最大时，y最小，当x最小时，y最大。例：

2≤x≤3 则当x=3时，y最小，x=2时，y最大

当a>0时

当a>0时，则y随x的增大而增大，即y与x成正比。则当x取值为最大时，y最大，当x最小时，y最小。例：

2≤x≤3 则当x=3时，y最大，x=2时，y最小

Answer 2

结果为：5

解题过程如下：

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求函数最大值的方法：

设函数y=f（x）的定义域为R，若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，且x≠x0，有f（x）<f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，有f（x）≤f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值。

设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最大值。

设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有f(x)≥M，②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最小值。

无论是正比例函数，即：y=ax（a≠0） 。还是普通的一次函数，即：y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意实数），只要x有范围，即z<或≤x<≤m（要有意义），那么该一次函数就有最大或者最小或者最大最小都有的值。

Answer 3

最大值为5

【解析】
f(x)=1-2sin²x+6sinx
=-2(sinx-3/2)²+11/2

∵-1≤sinx≤1
∴当sinx=-1时，f(x)取得最小值
fmin=-7
当sinx=1时，f(x)取得最大值
fmax=5

追问

第一步那个怎么化解呢

追答

cos2x=1-2sin²x
【倍角公式】

cos(π/2-x)=sinx
【诱导公式】

Answer 4

f(x)=cos2x+6cos[(π/2)-x]
=cos2x+6sinx
=(1-2sin²x)+6sinx
=-2[sin²x-3sinx+(9/4)]+1+(9/2)
=-2[sinx-(3/2)]²+(11/2)
因为sinx∈[-1,1]
所以，当sinx=1时，f(x)有最大值=(-2)×(1/4)+(11/2)=5

Answer 5

f(x)=1-2sin^2(x)+6sinx
=-2(sinx-3/2)^2+11/2
当sinx=1，f(x)最大=5。
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