Question

如何证明1+1=2

Answer 1

陈氏定理（陈景润先生）：每个大于等于12的偶数可以表示成p+q1*q2(应是[P2×P3
],未定义q1、q2为素数，下同)的形式，其中p,q1,q2都是素数。这个定理简称为1+2（1+2=3，应为“1+2”，这是很简单的基本知识，做学问既要谦虚，又要扎扎实实，不能浮躁。）。在陈氏定理之前，有认证明过：每个大于等于30的偶数可以表示成p+q1*q2*q3的形式，其中p,q1,q2,q3都是素数。这个定理简称为1+3（1+3=4，应是“1+3”）。我想现在你可以知道了：1+1（1+1只是加法,应该是“1+1”）只是一个简称，代表的是：每个大于等于6的偶数可以表示成p+q1的形式，其中p,q1都是素数(奇素数）。这个命题简称为1+1（应该是“1+1”），其实就是哥德巴赫猜想了。
当年徐迟的一篇报告文学，中国人知道了陈景润和歌德巴赫猜想。
那么，什么是歌德巴赫猜想呢？
哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了以下的猜想:
(a)任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b)
任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如:
6
=
3
+
3,
8
=
3
+
5,
10
=
5
+
5
=
3
+
7,
12
=
5
+
7,
14
=
7
+
7
=
3
+
11,16
=
5
+
11,
18
=
5
+
13,
……等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。

Answer 2

当年歌德巴赫写信给欧拉，提出这么两条猜想：
（1）任何大于2的偶数都能分成两个素数之和
（2）任何大于5的奇数都能分成三个素数之和
很明显，（2）是一的推论
（2）已经被证明，是前苏联著名数学家伊·维诺格拉多夫用“圆法”和他自己创造的“三角和法”证明了充分大的奇数都可表为三个奇素数之和，就是著名的三素数定理。这也是目前为止，歌德巴赫猜想最大的突破。
在歌德巴赫猜想的证明过程中，还提出过这么个命题：每一个充分大的偶数，都可以表为素因子不超过m个与素因子不超过n个的两个数之和。这个命题简记为“m
n”
显然“1
1”正是歌德巴赫猜想的基础命题，“三素数定理”只是一个很重要的推论。
1973年，陈景润改进了“筛法”，证明了“1
2”，就是充分大的偶数，都可表示成两个数之和，其中一个是素数，另一个或者是素数，或者是两个素数的乘积。陈景润的这个证明结果被称为“陈氏定理”是至今为止，歌德巴赫猜想的最高记录.最后要证明的是1
1
给你看一个假设：
用以下的方式界定0，1和2
(eg.
qv.
quine,
mathematical
logic,
revised
ed.,
ch.
6,
§43-44)：
0
:=
{x:
x
={y:
~(y
=
y)}}
1
:=
{x:
y(yεx.

Answer 3

皮亚诺公理
　　皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。 　　皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下： 　　①1是自然数； 　　②每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）； 　　③如果b、c都是自然数a的后继数，那么b=c； 　　④1不是任何自然数的后继数； 　　⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。（这条公理也叫归纳公设，保证了数学归纳法的正确性） 　　注：归纳公设可以用来证明1是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为“n=1或n为其它数的后继数”，那么满足归纳公设的条件。 　　若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。
编辑本段更正式的定义
　　一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f)： 　　1、X是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射； 　　2、x不在f的值域内； 　　3、f为一单射。 　　4、若A为X的子集并满足x属于A,且若a属于A, 则f(a)亦属于A则A=X。 　　该结构与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设是一致的： 　　1、P(自然数集)不是空集； 　　2、P到P内存在a->a直接后继元素的一一映射； 　　3、后继元素映射像的集合是P的真子集； 　　4、若P任意子集既含有非后继元素的元素，又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与P重合。 　　能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理！ 　　例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理（数学归纳法）的理论依据。

这就是数字相加的理论基础：当然这是在人们根据经验1+1=2 1+2=3.......后为了加强理论基础而设立的一个理论，这就成了自然数相加的理论基础

Answer 4

当年歌德巴赫写信给欧拉，提出这么两条猜想：
（1）任何大于2的偶数都能分成两个素数之和
（2）任何大于5的奇数都能分成三个素数之和
很明显，（2）是一的推论
（2）已经被证明，是前苏联著名数学家伊·维诺格拉多夫用“圆法”和他自己创造的“三角和法”证明了充分大的奇数都可表为三个奇素数之和，就是著名的三素数定理。这也是目前为止，歌德巴赫猜想最大的突破。
在歌德巴赫猜想的证明过程中，还提出过这么个命题：每一个充分大的偶数，都可以表为素因子不超过m个与素因子不超过n个的两个数之和。这个命题简记为“m+n”
显然“1+1”正是歌德巴赫猜想的基础命题，“三素数定理”只是一个很重要的推论。
1973年，陈景润改进了“筛法”，证明了“1+2”，就是充分大的偶数，都可表示成两个数之和，其中一个是素数，另一个或者是素数，或者是两个素数的乘积。陈景润的这个证明结果被称为“陈氏定理”是至今为止，歌德巴赫猜想的最高记录.最后要证明的是1+1
给你看一个假设：
用以下的方式界定0，1和2
(eg.
qv.
Quine,
Mathematical
Logic,
Revised
Ed.,
Ch.
6,
§43-44)：
0
:=
{x:
x
={y:
~(y
=
y)}}
1
:=
{x:
y(yεx.&.x\{y}ε0)}
2
:=
{x:
y(yεx.&.x\{y}ε1)}
〔比如说，如果我们从某个属于1这个类的分子拿去一个元素的话，那麽该分子便会变成0的分子。换言之，1就是由所有只有一个元素的类组成的类。〕
现在我们一般采用主要由
von
Neumann
引入的方法来界定自然数。例如：
0:=
∧,
1:=
{∧}
=
{0}
=0∪{0},
2:=
{∧,{∧}}
=
{0,1}
=
1∪{1}
[∧为空集]
一般来说，如果我们已经构作集n,
那麽它的后继元(successor)
n*
就界定为n∪{n}。
在一般的集合论公理系统中（如ZFC）中有一条公理保证这个构作过程能不断地延续下去，并且所有由这构作方法得到的集合能构成一个集合，这条公理称为无穷公理(Axiom
of
Infinity)(当然我们假定了其他一些公理（如并集公理）已经建立。
〔注：无穷公理是一些所谓非逻辑的公理。正是这些公理使得以Russell
为代表的逻辑主义学派的某些主张在最严格的意义下不能实现。〕
跟我们便可应用以下的定理来定义关于自然数的加法。
定理：命"|N"表示由所有自然数构成的集合，那麽我们可以唯一地定义映射A：|Nx|N→|N，使得它满足以下的条件：
(1)对于|N中任意的元素x，我们有A(x,0)
=
x
；
(2)对于|N中任意的元素x和y，我们有A(x,y*)
=
A(x,y)*。
映射A就是我们用来定义加法的映射，我们可以把以上的条件重写如下：
(1)
x
0
=
x
；(2)
x
y*
=
(x
y)*。
现在，我们可以证明"1+1
=
2"
如下：
1+1
=
1
0*
(因为
1:=
0*)
=
(1+0)*
(根据条件(2))
=
1*
(根据条件(1))
=
2
(因为
2:=
1*)
〔注：严格来说我们要援用递归定理(Recursion
Theorem)来保证以上的构作方法是妥当的，在此不赘。]
1+
1=
2"可以说是人类引入自然数及有关的运算后"自然"得到的结论。但从十九世纪起数学家开始为建基于实数系统的分析学建立严密的逻辑基础后，人们才真正审视关于自然数的基础问题。我相信这方面最"经典"的证明应要算是出现在由Russell和Whitehead合着的"Principia
Mathematica"中的那个。
我们可以这样证明"1+1
=
2"：
首先，可以推知：
αε1
(∑x)(α={x})
βε2
(∑x)(∑y)(β={x,y}.&.~(x=y))
ξε1
1
(∑x)(∑y)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))
所以对于任意的集合γ，我们有
γε1
1
(∑x)(∑y)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))
(∑x)(∑y)(γ={x,y}.&.~(x=y))
γε2
根据集合论的外延公理(Axiom
of
Extension)，我们得到1+1
=
2