Question

求z=x/x^2+y^2的二阶偏导数

Answer 1

z=x^y，lnz=ylnx；
(1/z)∂z/∂x=y/x，∂z/∂x=yz/x=yx^(y-1)；(1/z)∂z/∂y=lnx，∂z/∂y=zlnx=lnx*x^y；
ln(∂z/∂x)=lny+(y-1)lnx，[1/(∂z/∂x)]*∂²z/∂²x=(y-1)/x，∴ ∂²z/∂²x=(∂z/∂x)(y-1)/x=y(y-1)*x^(y-2)；
ln(∂z/∂y)=ln(lnx)+ylnx，[1/(∂z/∂y)]*∂²z/∂²y=lnx，∴ ∂²z/∂²x=(∂z/∂y)*lnx=(lnx)²*x^y；
[1/(∂z/∂y)]*∂²z/∂x∂y=(1/lnx)(1/x)+y/x，∂²z/∂x∂y=(lnx*x^y)*(1/lnx +y)/x=(1+ylnx)*x^(y-1)；

Answer 2

z=x/(x²+y²)
∂z/∂x=[(x²+y²)-x·2x]/(x²+y²)²=(y²-x²)/(x²+y²)²
∂z/∂y=-x·2y/(x²+y²)²=-2xy/(x²+y²)²
∂²z/∂x²=[-2x(x²+y²)²-(y²-x²)·2(x²+y²)2x]/(x²+y²)⁴=(2x³-6xy²)/(x²+y²)³
∂²z/∂y²=-2x[(x²+y²)²-y·2(x²+y²)2y]/(x²+y²)⁴=(6xy²-2x³)/(x²+y²)³
∂²z/∂x∂y=-[2y(x²+y²)²-2xy·2(x²+y²)2x]/(x²+y²)⁴=(6x²y-2y³)/(x²+y²)³