Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x*x-y*相交语AB两点，当a为何值时，以AB为直径的圆过原点

Answer 1

以AB为直径的圆过原点，就是OA＊OB＝0(是向量的内积）
设交点A（x1,y1）B(x2,y2)即x1x2+y1y2=x1x2+a^2x1x2+a(x1+x2)+1=0
直线与双曲线联立，则有：（3－a^2）x^2-2ax-2=0
所以：（1+a^2）[-2/(3-a^2)}+a*[-2a/(3-a^2)]+1=0
a^2=1/5
所以:a=正负根号5/5

Answer 2

把y=ax+1代入3x^2-y^2=1得到
3x^2-(ax+1)^2=1
--->(3-a)x^2-2ax-2=0
--->x1+x2=2a/(3-a); x1x2=-2/(3-a)
y1=ax1+1;y2=ax2+1
--->y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a^2*x1x2+a(x1+x2)+1
=2a/(3-a)-2a/(3-a)+1=1

以AB为直径的圆经过原点O--->OA⊥OB
--->y1/x1*y2/x2=-1
--->x1x2+y1y2=0
--->2a/(3-a)+1=0
--->a+3=0
--->a=-3
所以a=-3时,以AB为直径的圆经过原点.