Question

已知向量a=（cosα，sinα），向量b=（cosβ，sinβ），向量c=（cosβ，-sinβ），且π/4＜α+β＜2π，3

已知向量a=（cosα，sinα），向量b=（cosβ，sinβ），向量c=（cosβ，-sinβ），且π/4＜α+β＜2π，3π/4＜α-β＜π。若a.b=-4/5，a.c=4/5。（1）求cos2α的值。（2）求β的大小。

Answer 1

解：(1)a.b=（cosα，sinα）（cosβ，sinβ）
=cosαcosβ+sinαsinβ
=cos(α-β)
=-4/5
因为 3π/4＜α-β＜π
所以 sin (α-β)=3/5
a.c=（cosα，sinα)（cosβ，-sinβ)
=cosαcosβ-sinαsinβ
=cos(α+β)
=4/5
又 π/4＜α+β＜2π
所以sin(α+β)=-3/5
所以cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β) sin (α-β)
=(4/5)*(-4/5)-(-3/5)*(3/5)
=-7/25
(2)
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β) sin (α-β)
=(4/5)*(-4/5)+(-3/5)*(3/5)
=-1
因为 3π/4＜α-β＜π
所以-π<β-α<-3π/4
又 π/4＜α+β＜2π
所以-3π/4＜2β＜π/4
所以2β=π
即β=π/2.

Answer 2

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