Question

讨论函数在点x=0处的连续性和可导性

讨论函数在点x=0处的连续性和可导性第(3)题 谢谢老板！！

Answer 1

根据定义求解左右极限、左右导数即可

Answer 2

连不连续就看极限和函数值关系。x趋近于0，xsin(1/x)会趋近于0的，因为-1≤sin(1/x)≤1，所以x>0时0≤xsin(1/x)≤x，x、0在x趋近于0+的时候都是0，由夹逼原理可知x→0+时xsin(1/x)极限是0。完全类似可以证x<0的时候极限x→0-也是0。所以在0这一点x左右极限相等，均等于函数值0，所以连续。
看可不可导就列出定义式。f'(0)=[f(△x+0)-f(0)]/[△x-0](△x→0)=sin(1/△x)(△x→0)
显然(△x→0)时候sin(1/△x)值不定，可以在[-1,1]之间震荡，越来越快，所以没有极限，也就是导数不存在，这一点不可导。