Question

高等数学。级数和。请问最后一行怎么变的。就是最最后那个表达式怎么得来的

Answer 1

当n为偶数时，
cosnπ-1=0
所以，求和时这些项都可以不写，
也就是只留下奇数(n=2k+1)项

当n为奇数(n=2k+1)时，
cosnπ-1=-2
∴2(cosnπ-1)=-4
2(cosnπ-1)/(n²π²)=-4/[(2k+1)²π²]

代入可得(舍去偶数项)
∑2(cosnπ-1)/(n²π²)·cosnπx
=-∑4/[(2k+1)²π²]·cos(2k+1)πx
=-∑4/[(2n+1)²π²]·cos(2n+1)πx

Answer 2

∑<n=1,∞>2(cosnπ-1)cosnπx / (n^2 π^2)
= (2/π^2) ∑<n=1,∞>(cosnπ-1)cosnπx / n^2
= (2/π^2) [- 2cosπx + 0 - 2cos3πx/3^2 + 0 - 2cos5πx/5^2 + 0 - ......]
= - (4/π^2) [cosπx + cos3πx/3^2 + cos5πx/5^2 + ......]
= - (4/π^2) ∑<n=0,∞>cos(2n+1)πx / (2n+1)^2

Answer 3

把f(x)展成以2L,将函数拓广为：f(x)=2+|x|, x属于[-pi,pi]。
将此f拓广为R 上的周期为2pi的周期函数。
此函数连续，所以其傅立叶级数收敛于 f(x):
傅里叶级数
f(x)=a0/2 + a1cosx+b1sinx + a2cos2x + b2sin2x +...+ancosnx+bnsinnx+...
因为 f(x)是偶函数，
所以 bn = 0
a0 = 1/pi 积分（-pi 到 pi）f（x)dx = 2/pi积分（0 到 pi）(2+x)dx=4+pi
an =1/pi积分（-pi 到 pi）f（x)cosnxdx = 2/pi积分（0 到 pi）(2+x)cosnx dx --- 通过分部积分
=0 如果 n 是偶数
= -4/(pi*n^2) 如果 n 是奇数
所以 f(x)= 2+pi/2 - 4/pi(cosx+ cos3x / 3^2 + ...+ cos(2n+1)x /(2n+1)^2+...)