Question

设函数f（x）在【0.1】上连续，在（0.1）内可微，且0<f(x)<1,dy/dx不等于1，x属于（0.1），证明

设函数f（x）在【0.1】上连续，在（0.1）内可微，且0<f(x)<1,dy/dx不等于1，x属于（0.1），证明：在（0.1）内恰有一个x，使得f（x）=x。
详情求解，解题思路，就是怎么分析构建合适的函数的？

Answer 1

设F(x)=f(x)-x，则其在[0,1]上连续，F(0)>0,F(1)<0，由根的存在定理得：至少有一点x0属于(0,1)，使F(x0)=0。
又F'(x)=f'(x)-1，因为f(x)导数不等于1，则F'(x)>0，F(x)单调递增
F'(x)<0，F(x)单调递减
以上2种情况下，根都唯一。

说明：这个题目可能有些问题，如果确认题目没错误，那么证明方法如上。但是F(x)的导数的符号如何能确定，是本题关键。你好好看看，是不是题目错了。