Question

线性代数的时候给了矩阵是怎么求特征值和特征函数的

Answer 1

如果这个矩阵设为A，那么是现求特征值，再求特征向量。就是解方程组AX=λX，移过来就是（A-λ）X=0，因为原来的AX里面的X是无穷多个解，所以（A-λ）X=0也是和AX一样的解，换句话说就是（A-λ）X=0有无穷多解，那么这个方程的系数矩阵的行列式就是0（无穷多解的其次方程组，系数矩阵拍成的列向量线性无关，等价于矩阵行列式等于零）。第一步，令丨A-λ丨=0，这样你能求出好几个λ，这个特征根就是特征值，比如说A是4阶的，你求出来的λ就有四个（必须是实数），这里买呢可能会有重根但是要都写出来，重复的算一个特征值；第二步，解四个方程（A-λi）X=0（i=1,2,3,4）的解，并且求出基础解系，基础解系是解里面的一个极大无关组，因为解有无穷多个，重复根你只要算一次就可以；第三步，求出的基础解系里面的每个列向量就是特征向量，只不过你特征值是对应的λ1，λ2，λ3，λ4这么写，你的这个列向量必须按照对应特征值的顺序列，也是从左往右写成列向量α1，α2，α3，α4,；如果你对角矩阵，还要经过施密特正交化，这是第四步，这个运算比较麻烦，公式别记错了，得到新的列向量组β1，β2，β3，β4，也是从左到右；第五步，对角的矩阵设成B，于是B=P转置AP，P就是第四步求出的βi列向量组，要从左往右写，P转置是用P进行初等列变换得到，把单位矩阵写在下面然后列变换。最后算出P转置之后不用再求P转置AP去算B，B的元素就是那几个特征值（从左往右写成对角阵）。

Answer 2

对于n阶矩阵A，如果存在λ和非零n阶向量x，使得：Ax=λx，那么λ就是特征值，x是对应于λ的特征向量。
求λI-A的行列式为0的解即是λ的取值，其中I为n阶单位矩阵。λI-A的行列式即为特征函数。

Answer 3

根据AX=λX，即(A-λE)X=O,令A-λE的行列式等于0求所有特征值λ
然后将各个特征值代入A-λE，求（A-λE)X=O这个其次线性方程组的一个基础解系，即X1,X2,...,Xn，这些解向量就是特征向量。
特征函数主要看f(A)的形式，它是什么形式，f(λ)一般就是什么形式。

Answer 4

对于矩阵A, Ax=sx决定了特征值s和特征向量x
也可以说(A-sE)x=0
要想x有非0解，det(A-sE) =0，求解这个方程就得到特征值，再带回(A-sE)x =0就可以求得特征向量

Answer 5

对于矩阵A, Ax=sx决定了特征值s和特征向量x
也可以说(A-sE)x=0
要想x有非0解，det(A-sE) =0，求解这个方程就得到特征值，再带回(A-sE)x =0就可以求得特征向量