Question

确定不定方程的解的方法

Answer 1

常见类型
⑴求不定方程的整数解；

⑵判定不定方程是否有解；
⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
1．利用分解法求不定方程 ax + by = cxy ( abc≠0 ）整数解;因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会；
2．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。同余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试；
3．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式；
4．无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小”，由此产生矛盾。

Answer 2

举个例子吧，如
54x-67y=10，这个不定方程的正整数解有无数个，但怎么得到一个特解？
首先将方程变形为
54x=67y+10
x=(67y+10)/54=y+(13y+10)/54

令(13y+10)/54=m，得
13y=54m-10
y=(54m-10)/13=4m+(2m-10)/13

令(2m-10)/13=n，得
2m=13n+10
m=(13n+10)/2=6n+(n+10)/2

至此，已经很容易得出n=0（或任一偶数），可使方程有整数解。
n=0时，逐步反推出m=5，y=20，x=25，这样就得到原方程的一组特解为
x=25,y=20
那么通解为
x=25+67k，y=20+54k。（k为整数）

Answer 3

解54x-67y=10，
解一：y=（54x-10）/67=（54x'-10）/13=（54x''+
10x5）/（-11）=（54x'''-44x5）/（-11）=54x''''+
4x5=54x''''+20（注：x''''=0、1、2…）
代入原式得x=67x''''+25
解二：54x==10mod67则
13x==-10mod67
2x==10x5mod67
x==5x5==25mod67，即x通式=25+67t
把x通式代入原式得y通式=20+54t
（注：t=0、1、2…）
由于时间关系，其它解法略！