ln(x＋∨(x²＋1))的原函数
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∫ln[x+√(x²+1)]·dx
=x·ln[x+√(x²+1)]-∫x·{ln[x+√(x²+1)]}'·dx
=x·ln[x+√(x²+1)]-∫x/√(x²+1)·dx
=x·ln[x+√(x²+1)]-√(x²+1)+C
【附注】
{ln[x+√(x²+1)]}'
=1/[x+√(x²+1)]·[x+√(x²+1)]'
=1/[x+√(x²+1)]·{1+[√(x²+1)]'}
=1/[x+√(x²+1)]·{1+1/[2√(x²+1)]·(x²+1)'}
=1/[x+√(x²+1)]·{1+1/[2√(x²+1)]·(2x)}
=1/[x+√(x²+1)]·[1+x/√(x²+1)]
=1/√(x²+1)
∫x/√(x²+1)·dx
=1/2·∫1/√(x²+1)·d(x²+1)
=√(x²+1)+C
=x·ln[x+√(x²+1)]-∫x·{ln[x+√(x²+1)]}'·dx
=x·ln[x+√(x²+1)]-∫x/√(x²+1)·dx
=x·ln[x+√(x²+1)]-√(x²+1)+C
【附注】
{ln[x+√(x²+1)]}'
=1/[x+√(x²+1)]·[x+√(x²+1)]'
=1/[x+√(x²+1)]·{1+[√(x²+1)]'}
=1/[x+√(x²+1)]·{1+1/[2√(x²+1)]·(x²+1)'}
=1/[x+√(x²+1)]·{1+1/[2√(x²+1)]·(2x)}
=1/[x+√(x²+1)]·[1+x/√(x²+1)]
=1/√(x²+1)
∫x/√(x²+1)·dx
=1/2·∫1/√(x²+1)·d(x²+1)
=√(x²+1)+C
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