Question

如何求1，2，3，5，8，13，21.的通项公式

Answer 1

方法一：生成函数法

令

G(x)=1+2x+3x^2+5x^3+8x^4+13x^5……

xG(x)=   x + 2x^2+3x^3+5x^4+8x^5……

(x^2)G(x)=    x^2 +2x^3+3x^4+5x^5……

即(1-x-x^2)G(x)=1+x

G(x)=(1+x)/(1-x-x^2)=A/(1-r1x) + B/(1-r2x)，

其中r1=(1+√5)/2  r2=(1-√5)/2 是1-x-x^2=0的两根

A=(1-3/√5)/2   B=(1+3/√5)/2  是对比系数求出的，

由无穷等比数列求和公式，

G(x)=a/(1-qx)=a+a(qx)+a(qx)^2+a(qx)^3+……

所以a(n)=Ar1^(n-1)+Br2^(n-1)=(√5/10 - 1/2)·[(1+√5)/2]^n +  (-√5/10 - 1/2)·[(1-√5)/2]^n

方法二：递推矩阵

很容易看出递推公式是a(n+2)=a(n+1)+a(n) ，而a(n+1)=1·a(n+1)+0·a(n)

所以写成矩阵

( a(n+2) )       (1        1 )     ( a(n+1) )

=  

( a(n+1) )      ( 1        0 )     ( a(n)  )

记α(n)=[a(n+1),a(n)]^T   A=[(1,1),(1,0)]

有α(n+1)=A α(n)=(A^n) α(1)

求矩阵A的特征值，令|λI-A|=0，有λ²-λ-1=0，

得λ1=(1+√5)/2  λ2=(1-√5)/2

分别求(λI-A)X=0的解，得β1=((-√5-3)/2,2(1+√5))、β2=((√5-3)/2,2(1-√5))

为两个特征值分别对应的特征向量

记Λ=diag(λ1,λ2)，P=(β1,β2)

就有A=PΛPˉ¹

所以A^n=P(Λ^n)Pˉ¹

所以a(n)也求出来了，只是稍稍麻烦了一点。