如何求1，2，3，5，8，13，21.的通项公式
方法一：生成函数法
令
G(x)=1+2x+3x^2+5x^3+8x^4+13x^5……
xG(x)= x + 2x^2+3x^3+5x^4+8x^5……
(x^2)G(x)= x^2 +2x^3+3x^4+5x^5……
即(1-x-x^2)G(x)=1+x
G(x)=(1+x)/(1-x-x^2)=A/(1-r1x) + B/(1-r2x)，
其中r1=(1+√5)/2 r2=(1-√5)/2 是1-x-x^2=0的两根
A=(1-3/√5)/2 B=(1+3/√5)/2 是对比系数求出的，
由无穷等比数列求和公式，
G(x)=a/(1-qx)=a+a(qx)+a(qx)^2+a(qx)^3+……
所以a(n)=Ar1^(n-1)+Br2^(n-1)=(√5/10 - 1/2)·[(1+√5)/2]^n + (-√5/10 - 1/2)·[(1-√5)/2]^n
方法二：递推矩阵
很容易看出递推公式是a(n+2)=a(n+1)+a(n) ，而a(n+1)=1·a(n+1)+0·a(n)
所以写成矩阵
( a(n+2) ) (1 1 ) ( a(n+1) )
=
( a(n+1) ) ( 1 0 ) ( a(n) )
记α(n)=[a(n+1),a(n)]^T A=[(1,1),(1,0)]
有α(n+1)=A α(n)=(A^n) α(1)
求矩阵A的特征值，令|λI-A|=0，有λ²-λ-1=0，
得λ1=(1+√5)/2 λ2=(1-√5)/2
分别求(λI-A)X=0的解，得β1=((-√5-3)/2,2(1+√5))、β2=((√5-3)/2,2(1-√5))
为两个特征值分别对应的特征向量
记Λ=diag(λ1,λ2)，P=(β1,β2)
就有A=PΛPˉ¹
所以A^n=P(Λ^n)Pˉ¹
所以a(n)也求出来了，只是稍稍麻烦了一点。
