Question

A矩阵可以相似对角化，λ=2是A的二重根，那么A的秩等于多少？另外这个题中秩和特征值有什么关系？

还有A-λE的秩是多少？

Answer 1

λ=2是A的二重根，则秩一定大于等于2。秩与非零特征值个数有关。

对于一个矩阵来说，不一定存在将其对角化的矩阵，但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量，则该矩阵可被对角化。对角线上的元素可以为0或其他值。

扩展资料：

若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。

说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。

非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

参考资料来源：百度百科--对角化

Answer 2

秩与非零特征值个数有关。
λ=2是A的二重根，则秩一定大于等于2

Answer 3

可以相似对角化，那么矩阵满秩！

追问

好像问错了，是A-λE矩阵的秩，这个怎么解？

追答

λ=2是A的二重根，那么(A-λE)x＝0可以有两个不相关的根（两个不相关的特征向量）

所以A-λE的秩为n-2

追问

有两个重根，就代表有两个不相关的特征向量和两个自由变量吗？这是什么定理吗？

追答

二重根未必有两个不相关特征向量。
但是可以相似对角化，那么二重根必然能找到两个不相关的向量。