Question

已知抛物线y^2=2px(P大于0的焦点为F，过点F的直线角抛物线于AB两点点C在抛物线的准线上，且BC平行X轴

Answer 1

设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC‖x轴。证明直线AC经过原点O。
分析：我们把线段FA、FB、OA、OC看做平面向量，由 与 共线推出 与 共线，即可说明直线AC经过原点O。
解：设A（x1,y1），B（x2,y2），则y12=2px1，记为①
y22=2px2,记为②
焦点F=( ,0)，准线方程x=- ，因为点C在抛物线的准线上，且BC‖x轴，则有C=（- ，y2）。
=（x1- ,y1）， =（x2- ，y2）， =（x1,y1）， =（- ,y2）,因为 与 共线,
所以（x1- ）y2-(x2- )y1=0。③
联立①、②、③式可解得：y1y2=-p2。④
而x1y2-(- )y1= y2+ y1,⑤
将④式代入⑤式有x1y2-(- )y1=0，
所以 与 是共线向量，A、O、C三点共线即直线AC经过原点O。