Question

几何题—

怎样找到平面3个点最短的那个或几个点
就是平面上有任意3点ABC,再到平面上找一点P使得PA+PB+PC最小

Answer 1

在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即在ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”。

解法如下：分别以AB 、AC为边向外侧作正三角形ABD 、ACE 连结CD 、BE交于一点，则该点 即为所求P点。

证明：分以下三种情况讨论：

(1) 当∠BAC<120°时，如下图所示。连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。

∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆

∴∠APB=120° ， ∠APD=∠ABD=60°

同理：∠APC=∠BPC=120°

以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF，

以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60°

∴△APF为正三角形。∴不难发现当∠BAC=120°ABP与△ADF重合。

∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD

另在△ABC中任取一异于P的点G ，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心

将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点.。

则△ABG与△BDM重合，且M或 在 线 段DG上 或 在DG外。

GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。

从而CD为最短的线段。

(2) 当∠BAC=120°时，由以上作法可知所求的点即是A点.

(3) 当∠BAC>120°时，若再按(1)中的做法，所求P点就会在△ABC的外部，这样，PA+PB+PC又会变大．故在此种情况下点A就是符合题意的点．

以上是简单的费马点问题，将此问题外推到四点，可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点。

Answer 2

不知所云

Answer 3

△ABC平面上到三个顶点距离之和PA+PB+PC最小的P点，必满足：

（1）当△ABC最大内角小于120°时，则P满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°

（2）当△ABC最大内角不小于120°时，最大角的顶点就是使到三个顶点距离之和PA+PB+PC最小的P点。