Question

如何理解代数中的伴随矩阵这一工具

Answer 1

最初在学习线性代数的时候，最初理论的建立依赖于两个不易察觉的概念，一个是行列式，一个是伴随矩阵，两个工具解决了n元的n个满秩线性方程组的求解问题和矩阵求逆问题。

可以这么说，对于非交换环（n>2,F为一数域),伴随矩阵和行列式这两个工具加深了我们对这个环的理解。

行列式有很多不同方面的解释。行列式在几何上代表欧式空间平行多面体的有向体积（勒贝格测度），在代数即多重反对称线性型（唯一能满足某些较好约束的函数）。行列式除了数域上用来判定矩阵可逆，还可以用于定义域的有限扩张中一个元的范数，应用也很多。

但是按下行列式不表，伴随阵相对来说反而不好理解。
伴随矩阵的概念可以推广到抽象的上去，F为一模。但它仍然有应用之处，如利用线性变换构成的矩阵的伴随矩阵证明Caley-Hamilton定理也是常见的方法。
虽然伴随矩阵不能完全反映矩阵的信息（如n阶矩阵秩小于n-1时伴随矩阵为0，取伴随不能区分低秩的矩阵），但是其与原矩阵相乘得到对角阵的性质是完全代数的（即就是抽象的相等，可以用于证明Nakayama定理），特别伴随阵还与原矩阵是交换的，我觉得这实际上可能是一种更深刻的东西的体现。

那么，伴随矩阵这种工具是否有更深刻的解释（如从线性变换，交换代数角度等等），或者是否有这一概念的推广（到一般的环上）和更多的不限于上述所提到的应用？