Question

高中数学题 求速解答

Answer 1

（1）由 x²/4+y²=1可知a²=4，b²=1得c²=a²-b²=3所以F1(-√3，0)、F2(√3，0)

PF1所在一条直线的斜率 k=tan∠PF1F2=√3/3，可设PF1方程为 y=√3/3*x+b 代入F1(-√3，0)有0=-1+b得b=1，即PF1方程为 y=√3/3*x+1 代入椭圆方程有 x²+4/3*x²+8√3/3*x+4=4得x=0或x=-8√3/7<√3=-c，不符题意舍去。将x=0代入椭圆方程得 y=±1。所以P点坐标为(0, 1)或(0，-1)。

（2）x²/4+y²=1的左右焦点坐标分别是F1(-√3，0)、F2(√3，0)。设P(x，y)，有向量PF1•PF2=(-√3-x，-y)•(√3-x，-y)=x²-3+y²。因为x²/4+y²=1，所以y²=1- x²/4，PF1•PF2= x²-3+1- x²/4=-2+3x²/4，又 -2≤x≤2，则0≤3x²/4≤3，所以，PF1•PF2的最小值是-2，最大值是1。

附：若是求|PF1|•|PF2|，则由焦半径公式|PF1|=a-ex，|PF2|=a+ex。|PF1|•|PF2|=（a-ex）（a+ex）=a²-e²x²=-3/4*x²+4，∵ x∈[-2，2]，∴ 当x=0时，|PF1|•|PF2|的最大值是4；当x=2或-2时，|PF1|•|PF2|的最小值是1。

Answer 2

图