Question

求解一道数学题（要过程）

点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最短距离为（）
A.1 B.√2 C.√2/2 D.√3 要过程，谢谢大家了！

Answer 1

P不能是任意一点，所谓最短距离点，就是与直线y=x-2的平行切线的切点与直线的距离，
y'=2x-1/x,
直线斜率为1,
二平行线斜率相等，
2x-1/x=1,
2x^2-x-1=0,
(2x+1)(x-1)=0,
x=1, x=-1/2,(不满足定义域条件，舍去），
故x=1,y=1,
切点坐标P（1，1），
P至直线距离,d=|1-1-2|/√（1^2+1^2)=√2,
故应选B。

Answer 2

P的坐标 (t, t^2-lnt)
到直线x-y-2=0的距离为
d = |t-t^2+lnt-2| / 根号2
d' = 1-2t+1/t = 0 (导数为0时取极值)
t= 1 或 -1/2(舍去)
d = 2 / 根号2 = 根号2
选B

Answer 3

先求y=x²-lnx的定义域：x>0,然后求y=x²-lnx的导数，y'=2x-1/x,令其等于直线的斜率，求出来的点就是最近点，然后求距离得b

Answer 4

令y=x+k (1)
将（1）式代入y=x²-lnx得
x+k=x²-lnx
求导
1=2x-1/x
x=2x^2-1
x=1或者x=-1/2(舍去)
当x=1时，k=0
即y=x与y=x²-lnx相切，又y=x与y=x-2距离为√2，选B