Question

正定二次型，请问这道题的完整解答。

Answer 1

显然恒有 f(x1，x2，。。。，xn) ≥ 0 ，
若 x1+a1x2 = x2+a2x3 = 。。。= xn + anx1 = 0 时，
有 a1 = -x1/x2，a2 = -x2/x3，。。。，an = -xn/x1，
因此 a1a2。。。an = (-1)^n 。
所以当 a1a2...an ≠ (-1)^n 时，f 为正定二次型 。

追问

为什么x1+a1x2 = x2+a2x3 = 。。。= xn + anx1 = 0 时就是正定二次型了?这用了那一条定理?谢谢

为什么x1+a1x2 = x2+a2x3 = 。。。= xn + anx1 = 0 时就是正定二次型了?这用了那一条定理?谢谢

追答

令它们都等于 0 ，是寻求 ai 满足的条件 ，不是正定的条件 。
正定要求值恒为正 。
最后一行是不等于好不？

追问

嗯，那为啥不等于0就正定了呢?

追答

只有当每个括号都等于 0 时，f 才可能取最小值 0 。
如果 a1*a2*...*an 不等于 (-1)^n，那 n 个括号就不可能同时为 0 ，当然 f 就不可能为 0 ，只能是正数 。

Answer 2

配方化为标准型，n个平方项的系数均为正，即为正定二次型。或求出二次型矩阵特征值，都是正的即为正定二次型。