Question

高数告诉进！！！

当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率（即体积减少的速率）与陨石表面积成正比。现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状，若它进入大气层开始燃烧的前3秒内，减少体积的7∕8，问此陨石完全燃尽需要多少时间？

Answer 1

答案：6 秒

球体表面积为：S=4*pi*r^2------------式1;
球体体积为： V=4/3*pi*r^3----------式2;
（说明：pi为圆周率，*代表乘号，/代表除号，^代表乘方，r代表陨石半径。）

设 当t=0时，陨石体积（即最初进入大气层时体积）为V0，半径为r0；当t=3秒时，陨石体积为V1，半径为r1,
根据题意令 dV/dt=-k*S-------------式3；
（说明：k为陨石挥发体积随表面积变化的比例系数）

将式1、式2代入式3，整理化简积分，得：r=r0-k*t-------------式4;
根据题目条件有，V1=V0-(7/8)*V0=(1/8)*V0,得： r1=0.5*r0-------------式5;

将式5及t=3代入式4，得：k=0.5/3*r0-------------式6;
将式6代入式4，得：r=r0*(1-0.5/3*t)-------------式7;
从式7可知，当t=6时，r=0即V=0，得解。