Question

在△ABC所在平面内求一点P，使AP²+BP²+CP²最小。

如题

Answer 1

解：设三角形在平面直角坐标系中，A（a，a1）；B（b,b1); C(c,c1)；P（x，y）
则AP²+BP²+CP²=(x-a)²+(y-a1)²+(x-b)²+(y-b1)²+(x-c)²+(y-c1)²
=3x²-2(a+b+c)x+a²+b²+c²+3y²-2(a1+b1+c1)x+a1²+b1²+c1²
=3[x-(a+b+c)/3]²-3[(a+b+c)/3]²+a²+b²+c²+3[y-(a1+b1+c1)/3]²-3[(a1+b1+c1)/3]²+a1²+b1²+c1²
所以当X=(a+b+c)/3且Y=（a1+b1+c1)/3时，使得AP²+BP²+CP²最小，
此时，点p恰为 △ABC的重心。