Question

一元三次方程的求根公式怎么证明

Answer 1

任意实系数三次方程的古典解法：对于ax3+bx2+cx+d=0（a≠0），先做代换：x=y-[b/(3a)]，方程可转换为： y3+py+q=0 其中p=c-(b2/3a)，q=d-[(2b3+9abc)/27a2] 令y=m+n，且M=m3，N=n3，代入上述方程得到： (m+n)3+p(m+n)+q=0 (m+n)(p+3mn)+(q+m3+n3)=0 若满足m3+n3=-q且mn=-p/3则上式成立，即： M+N=-q和MN=(-p/3)3=-p3/27 根据韦达定理，显然M和N就是如下一元二次方程的根： z2+qz-(p3/27)=0 z1,2=｛-q±√[q2+4(p3/27)]｝/2=(-q/2)±√[(q/2)2+(p/3)3] 显然判别式为：Δ=(q/2)2+(p/3)3 根据Δ的符号可以计算出M和N，进而得到三个y值，最后变换到x的值。（注意M和N要按复数开方法则求出m和n，每个m或n对应三个复数根，m+n组合成三个y值，特别注意要选择mn=-p/3的值来组合！） 当Δ>0，M和N为相异实根，y为一实根和两共轭复根；当Δ=0，M和N为相等实根，y为一实根和两个等实根；当Δ<0，M和N为共轭复根，y为三个相异实根。【这里要用虚数才能算出实根，历史上应用虚数就是从这里引入的，而不是吃饱了撑的去解x2=-1】最后反变换x=y-[b/(3a)]得到最终x的解。 ———————— 参考资料：可百度“卡尔丹公式”或“卡尔丹方法”