Question

如图所示，在平面直角坐标系中，以点M（2，3）为圆心，5为半径的圆交 轴于A，B两点，过点M作 轴的垂线，垂

如图所示，在平面直角坐标系中，以点M（2，3）为圆心，5为半径的圆交 轴于A，B两点，过点M作 轴的垂线，垂足为D；过点B作⊙M的切线，与直线MD交于N点。
（1）求点B、点N的坐标以及直线BN的解析式；
(2) 求过A、N、B、三点（对称轴与 轴平行）的抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线与 轴交于点P，以点D，B，P三点为顶点作平行四边形，请你求出第四个顶点Q的坐标，并判断Q是否在（2）中的抛物线上

Answer 1

解：圆的方程（x-2）²+（y-3）²=25
（1）令y=0
（x-2）²+9=25
（x-2）²=16
x-2=4或-4
x=6或-2
所以点B坐标（-2，0）
直线BM的斜率=（3-0）/（2+2）=3/4
直线BN和BM垂直，所以直线BN的斜率=-4/3
那么直线BN的方程y-0=（-4/3）（x+2）即4x+3y+8=0
令x=2，8+3y+8=0
y=-16/3
那么点N的坐标（2，-16/3）
（2）点A，B关于直线x=2对称，所以x=2就是抛物线的对称轴
那么设抛物线的方程为y=a（x-2）²-16/3
将A（6，0）代入
0=16a-16/3
a=1/3
那么y=1/3（x-2）²-16/3=1/3x²-4/3x-4
（3）令x=0，y=-4
所以点P的坐标（0，-4）
若构成平行四边形，那么Q的纵坐标为-4，设横坐标为a
因为AD=4，所以a=4
点Q坐标（4，-4）
将x=4代入y=1/3x²-4/3x-4=-4
是Q的横坐标，所以点Q在抛物线上

Answer 2

Answer 3

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