Question

负一为什么能乘负一

负一为什么能乘负一按照乘法定义，负一乘负一等于负一个负一相加，但个数怎么会有负呢？

Answer 1

作者：单英晋
链接：https://www.zhihu.com/question/21247203/answer/17651961
来源：知乎
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矩阵乘法是最常见的不满足交换律的乘法。把一个 mxn 的矩阵看成是从 n 维线性空间到 m 维线性空间的线性映射，那么 mxn 矩阵和 nxk 矩阵的乘法的结果就是从 k 维空间到 n 维空间再到 m 维空间的复合映射。当m=n=k的时候，乘法就成了一个集合上的二元运算。
加法本质是相同对象的运算，而乘法的本质是不同对象之间的运算。
比如一箱有60个鸡蛋，10箱有60x10个鸡蛋，其实我们考虑的是两个集合：鸡蛋计数集合A和箱子计数集合B，这里的乘法实际上是一个二元函数f: B X A --> A。B上天然的运算是加法（一个箱子+一个箱子=两个箱子），f 对 (B, +) 满足分配律（2箱鸡蛋+3箱鸡蛋= (2+3) 箱鸡蛋 = 5x60个鸡蛋）这样我们就定义了最原始的乘法。数学上这样的关系叫作群 (B,+) 在群 (A,+) 上的作用。
但我们很容易看到所有的计数集合都是同构的（整数加群），于是上面的运算就成了一个加群在它自身上的作用，Z X Z --> Z. 这时候我们可以增加一些假设，比如：
结合律：(ab)c = a(bc)
交换律：ab=ba
就得到了常见的整数乘法。
我们从小学就知道＂3 乘 5＂和＂3 乘以 5＂是不同的算式，其实这就是在强调乘法的本质是来自不同集合的元素的作用，只不过刚好整数乘法的交换律使得这两个运算结果是一样的。
对于这些理论感兴趣的读者，可以阅读抽象代数和范畴理论的相关书籍找到更准确深入的介绍。
好了，现在我们有整数以及加法、乘法了，什么是分数呢？对了，我们还没有定义除法。＂1除以2＂是什么东西我们并不知道啊！但我们知道除法是乘法的逆运算，就像减法是加法的逆运算一样。
回忆一下当我们只有自然数和加法的时候，我们是怎么定义负数的呢？什么是＂1-2＂？首先对于a>=b我们定义 c=a-b 是恰好满足a=b+c 的那个自然数，它满足 (a+d)-(b+d)=a-b，所以呢在 a现在分数也是一样，＂一除以二不知如何相除，以不除为除＂，我不知道 1除以2是什么，但我知道1除以2=2除以4=3除以6=...，我就把它们统统叫做"1/2".
每次我们像这样延拓运算的时候，我们旧的运算法则很自然的对于新产生的＂数＂依然成立，比如整数的加法，有理数的加法和乘法。
从有理数到实数的扩张与上面的做法别无二致，只不过它是针对另一种运算（取数列极限）所做的扩张，这个过程叫做完备化。
有关实数这些内容以及你所说的 e^pi，你可以从任何一本＜数学分析＞中找到严谨的逻辑论述。我只想提一点就是你提出的指数函数恰好是最重要的函数，三角函数，对数函数以及双曲函数都是由简单的 e^x 发展而来，所谓＂基本函数＂其实只包含多项式函数和一个 exp 函数而已。
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补充一下看到你说欧拉公式才明白你所说的是 e^{i \pi}。这就要扯到复数。复数的定义方式有很多，我们按照上面的思路，定义＂根号-1 = (根号-4)/2 = (根号-a^2)/a＂为 i，把之前的加法，减法，指数函数的定义形式（指数函数用级数定义）都扩张到复数上来，e^{i \pi} 就有定义了。
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另外关于面积、体积与乘法的关系。与其说它们与乘法有关系，还不如说它们与行列式有关系，满足乘法关系只是在所有向量两两正交的时候的特例。

Answer 2

-1乘以【-1】等于1
因为负负得正
且-1乘以【-1】是【-1】的平方
平方都是正数
-1乘以【-1】也是-1个-1

Answer 3

换一个角度，从复数维度来看这个问题
-1 = -1 + 0 × i
（-1）×（-1）=（-1 + 0 × i）×（-1 + 0 × i）
由于 a + b * i 可以用极坐标的形式进行表示，即 r *（cosθ + i × sinθ）
再加上另外一个结论 （cosα + i × sinα）×（cosβ + i × sinβ）=cos(α+β) + i × sin(α+β)
那么上式可以写成
（cosπ + i × sinπ）×（cosπ + i × sinπ）= cos2π + i × sin2π = 1
通过如上推导，可以看到乘法实际上就是复平面上向量的旋转+缩放

Answer 4

这里的负一表示的不是个数。是量仅此而已。这就好比你向东走看做是正，你朝西走看做是负那么负一就说明你朝西走了，以此类推其余脑补。

Answer 5

负一乘负一等于负一个负一相加就等于-（-1）=1