Question

∑（i=1,n）i²该怎么算？

Answer 1

这个是公式：1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

公式推导：
n³-(n-1)³=[n-(n-1)][n²+n(n-1)+(n-1)²]=(n²+n²-n+n²-2n+1)=3n²-3n+1
(n-1)³-(n-2)³=3(n-1)²-3(n-1)+1
…………
2³-1³=3×1²-3×1+1
累加
n³-1=3×(1²+2²+...+n²)-3(1+2+...+n)+(n-1)
3×(1²+2²+...+n²)=n³-1+3(1+2+..+n)-(n-1)
=n³-1+3n(n+1)/2 -(n-1)
=(2n³+3n²+n)/2
=n(2n²+3n+1)/2
=n(n+1)(2n+1)/2
1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
公式就是这么来的，非常简单。

Answer 2

条件收敛。 ∑（-1）^n×(2+n)/n2 是交错级数，令U_n=(2+n)/n2，满足 U_n→0（当n→∞时）又U_n+1/U_n = [(2+n+1)/(n+1)2]/[(2+n)/n2] = (n3+3n2)/(n3+4n2+5n+2) < 1 则 U_n+1 U_n 由莱布尼茨审敛法知 ∑（-1）^n×(2+n)/n2 收敛。而 ∑|（-1）^n×(2+n)/n2|=∑(2+n)/n2 (2+n)/n2 > n/n2 =1/n 因为∑1/n 发散，所以 ∑|（-1）^n×(2+n)/n2| 发散。原级数条件收敛。