Question

找出f(x)=x/tanx的间断点,并指出什么间断点？

求详细解答，基础差。
为什么x趋近于k派+2分之派时，x/tanx极限=0？为什么等于零就是可去间断点？
为什么x趋近于k派时，x/tanx极限=无穷大？

Answer 1

x→0，lim x/tanx=1，所以x=0处是可去间断点。

x→kπ，lim x/tanx=∞，所以x=kπ (k≠0)处是无穷间断点。

x→kπ+π/2，。lim x/tanx=0，所以x=kπ+π/2处是可去间断点。

由于函数是初等函数，所以在定义域其他地方连续。

定义

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一。

（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。

（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。

（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

Answer 2

• f(x)=x/tanx

  间断点，不在定义域内的点，没有定义的点：

  x=0 x=kπ k≠0 分式的分母为0；

  x=kπ+½π tanx 无意义

1. lim(x→0-)f(x)=lim(x→0+)f(x)=1（x→0时，x和tanx是等价无穷小）,左极限=右极限，只要补充定义f(0)=1,函数在该点就连续了，故x=0是函数的可去间断点（第一类）

2. x→kπ+½π时，分子是一有限量，分母→∞，故左极限=右极限=0，同样，只要补充定义f(kπ+½π)=0,函数在这些点就连续了，故x=kπ+½π也是函数的可去间断点（第一类）；

3. x→kπ时，分子是一有限量，分母→0相除的结果→∞，x=kπ是函数的无穷间断点（第二类）