Question

已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且当0<x≤1时，f(x)=lg(x^2+9)

(1)求函数f（x)的表达式；（2）求函数f(x)的最大值；(3)若f(lgx^2)<f(1+lgx),求x的取值范围

Answer 1

解:(1)当-1≤x<0时,0<-x≤1所以,f(-x)=lg(x^2+9)
由f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,得 f(0)=0, f(x)=-f(-x)=-lg(x^2+9)
所以,当0<x≤1时，f(x)=lg(x^2+9);当-1≤x<0时，f(x)=-lg(x^2+9),x=0时,f(0)=0
(2)当0<x≤1时，f(x)=lg(x^2+9),得f(x)的最大值=lg10=1
当-1<x≤0时，f(x)=-lg(x^2+9),得f(x)的最大值=-lg9
所以,在[-1,1]上f(x)的最大值=1
(3)由当0<x≤1时，f(x)=lg(x^2+9);当-1≤x<0时，f(x)=-lg(x^2+9),x=0时,f(0)=0,得在[-1,1]上f(x)是增函数
所以,f(lgx^2)<f(1+lgx)得lgx^2<1+lgx
lgx^2在[-1,1]上,(1+lgx)在[-1,1]上
所以,x的取值范围是根号10/10≤x≤1