Question

高等数学问题，求解

Answer 1

充分性：当lim(x->0)[f(x)-f(-x)]/x存在
表示：lim(x->0)[f(x)-f(-x)]/x=lim(x->0)[f(x)-f(0)-f(-x)+f(0)]/(x-0)
=lim(x->0){[f(x)-f(0)]/(x-0)-[f(-x)-f(0)]/(x-0)}
=lim(x->0){[f(x)-f(0)]/(x-0)+[f(x)-f(0)]/(x-0)} x->-x变换
=2lim(x->0)[f(x)-f(0)]/(x-0) 存在，即lim(x->0)[f(x)-f(0)]/(x-0)极限存在，f'(0)存在。
必要性：若f'(0)存在，即lim(x->0)[f(x)-f(0)]/(x-0)存在，反推以上过程即得。