Question

高一数学、、、 已只函数f(x)=loga^[(2+x)/(2-x)] 且a>0,a不等于1

(1)求次函数反函数
(2)证明次函数单调性
更改题目：已知函数f(x)=loga^[(2-x)/(2+x)] 且a>0,a不等于1

Answer 1

a^y=(2+x)(2-X）=4-X^2；
X^2=4-a^y;
x=(4-a^y)^1/2;即y=(4-a^x)^1/2，由以下结论得y的取值范围为y小于等于loga^4
即(-∞,loga^4]
原函数的y范围即为此反函数的x取值范围。
故而 反函数为 y=(4-a^x)^1/2 且x∈(-∞,loga^4]

设x1>x2 且均在（-2,2）范围内 因为： (2+x)(2-X)>0
分类讨论：（-2~0）范围内 X1^2<X2^2,(4-X1^2)/(4-X2^2)>1
F(x1)-F(x2)=loga^{[(2+x1)/(2-x1)]/loga^[(2+x2)/(2-x2)] } =loga^[(4-X1^2)/(4-X2^2)]>0,单调递增；
[0,2)范围内 X1^2>X2^2,(4-X1^2)/(4-X2^2)<1
F(x1)-F(x2)=loga^{[(2+x1)/(2-x1)]/loga^[(2+x2)/(2-x2)] } =loga^[(4-X1^2)/(4-X2^2)]<0,单调递减；结论：在（-2~0）范围内，原函数为单调递增；(0,2)范围内，原函数为单调递减。
反函数与原函数具有相同的单调性。

祝你学习顺利！

Answer 2

(1) f(x)=loga^[(2-x)/(2+x)] ；求反函数是求f(x)对x的关系式；
(2-x)/(2+x)=a^f(x)；
即2/(x+2)=a^f(x)+1；
得x=4/(a^f(x)+1)-2;
得到原式的反函数为:
f(x)=4/(a^x+1)-2；
(2) 首先：（2-x)/(2+x)>0;即x^2-4<0;
f(x)=loga^[(2-x)/(2+x)] =loga^(2-x)-loga^(2+x)
f(x)'=1/ina*(-1/ ( 2-x ) -1/ (2+x))=1/Ina*(-4/(x^2-4),
而x^2-4<0；(-4/(x^2-4)>0；
当a>1时，Ina>0,f(x)>0,函数f(x)替增；
当0<a<1时，Ina<0,f(x)<0,函数f(x)替减；
有时间好好做做吧，加油！

即当