Question

高中数学法向量

这道题不会。请帮忙做一下，要标准过程。谢谢。

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Answer 1

法向量是垂直于平面的，题目解法的原理，是“垂直于平面内两条相交直线的直线，垂直于这个平面”。平面内的两条直线，选相交的，两条线段对应的向量，用坐标表示为线段端点对应坐标的差：向量a=向量AB=（xB-xA，yB-yA，zB-zA);向量b=向量CD=（xD-xC，yD-yC，zD-zC)，AB、CD在同一平面内，但是不平行。
如果学过向量的叉积，那么向量的叉积就是两向量所在平面的法向量。用行列式可以写成：
i，j，k
xa，ya，za
xb，yb，zb
其中i，j，k分别为x，y，z轴方向的单位向量。

没有学过，就要用解方程的办法确定，
x.xa+y.ya+z.za=0
x.xb+y.yb+z.zb=0
设定x，y，z中的一个，（任意，但是为了简单，可以设比如x=1，或者y=1，或者z=1，不能设0，因为0向量没有方向，可能引起错误。）
因此，建立坐标系，
求出一个平面内至少3个点的坐标，得到两个向量，然后求法向量就简单了。
还有一种办法，更加简单，写出平面的方程，化成标准式Ax+By+Cz+D=0，A、B、C、D是常数。则（A，B，C）就是法向量。
（1）求PAC的法向量：
坐标系就用你建立的。
P的坐标：x=0，y=0，z=PO=4，P（0,0,4）；
A的坐标：x=0，y=-AO=-3，z=0，A(0，-3，0);
C的坐标：x=-CD=-BC/2=-4，y=OD=2，z=0，C（-4,2,0）
向量PA=（0，-3，-4），向量PC=（-4,2，-4）
向量PA×向量PC=

i，j，k
0，-3，-4
-4,2，-4
=（12+8）i+16j-12k=（20,16，-12）=4（5,4，-3）=20（1,4/5，-3/5）
或者设法向量为（x，y，z），令x=1，根据向量点积=0，互相垂直的定理，
0-3y-4z=0
-4+2y-4z=0
相减：-4+5y=0，y=4/5，z=-3y/4=-3/5，法向量（1,4/5，-3/5）
两种方法，求得的法向量是倍数关系，长短不同，同向或者反向，都与对应平面垂直。

追答

写出PAC的方程。P在z轴上，zP=4是平面在z轴上的截距，A在y轴上，yA=-3是平面在y轴上的截距。
设x轴上的截距是k
平面方程
x/k十y/（-3）十z/4=1
C（-4,2,0）代入
-4/k十2/（-3）十0=1
-4/k=5/3
k=-4×3/5=-12/5
平面方程
x/（-12/5）十y/（-3）十z/4=1
5x十4y-3z十12=0
法向量（5,4,-3）

Answer 2

你是不是得出法向量中y=0.z=0,而x不管取什么数，都成立
很明显，法向量不可能是零向量(0,0,0)
所以取x=k，k为任意非零常数
又（k,0,0）=k(1,0,0)
所以一般直接取x=1
所以法向量为（1,0,0）
也就是说，法向量与x轴平行