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法向量是垂直于平面的,题目解法的原理,是“垂直于平面内两条相交直线的直线,垂直于这个平面”。平面内的两条直线,选相交的,两条线段对应的向量,用坐标表示为线段端点对应坐标的差:向量a=向量AB=(xB-xA,yB-yA,zB-zA);向量b=向量CD=(xD-xC,yD-yC,zD-zC),AB、CD在同一平面内,但是不平行。
如果学过向量的叉积,那么向量的叉积就是两向量所在平面的法向量。用行列式可以写成:
i,j,k
xa,ya,za
xb,yb,zb
其中i,j,k分别为x,y,z轴方向的单位向量。
没有学过,就要用解方程的办法确定,
x.xa+y.ya+z.za=0
x.xb+y.yb+z.zb=0
设定x,y,z中的一个,(任意,但是为了简单,可以设比如x=1,或者y=1,或者z=1,不能设0,因为0向量没有方向,可能引起错误。)
因此,建立坐标系,
求出一个平面内至少3个点的坐标,得到两个向量,然后求法向量就简单了。
还有一种办法,更加简单,写出平面的方程,化成标准式Ax+By+Cz+D=0,A、B、C、D是常数。则(A,B,C)就是法向量。
(1)求PAC的法向量:
坐标系就用你建立的。
P的坐标:x=0,y=0,z=PO=4,P(0,0,4);
A的坐标:x=0,y=-AO=-3,z=0,A(0,-3,0);
C的坐标:x=-CD=-BC/2=-4,y=OD=2,z=0,C(-4,2,0)
向量PA=(0,-3,-4),向量PC=(-4,2,-4)
向量PA×向量PC=
i,j,k
0,-3,-4
-4,2,-4
=(12+8)i+16j-12k=(20,16,-12)=4(5,4,-3)=20(1,4/5,-3/5)
或者设法向量为(x,y,z),令x=1,根据向量点积=0,互相垂直的定理,
0-3y-4z=0
-4+2y-4z=0
相减:-4+5y=0,y=4/5,z=-3y/4=-3/5,法向量(1,4/5,-3/5)
两种方法,求得的法向量是倍数关系,长短不同,同向或者反向,都与对应平面垂直。
如果学过向量的叉积,那么向量的叉积就是两向量所在平面的法向量。用行列式可以写成:
i,j,k
xa,ya,za
xb,yb,zb
其中i,j,k分别为x,y,z轴方向的单位向量。
没有学过,就要用解方程的办法确定,
x.xa+y.ya+z.za=0
x.xb+y.yb+z.zb=0
设定x,y,z中的一个,(任意,但是为了简单,可以设比如x=1,或者y=1,或者z=1,不能设0,因为0向量没有方向,可能引起错误。)
因此,建立坐标系,
求出一个平面内至少3个点的坐标,得到两个向量,然后求法向量就简单了。
还有一种办法,更加简单,写出平面的方程,化成标准式Ax+By+Cz+D=0,A、B、C、D是常数。则(A,B,C)就是法向量。
(1)求PAC的法向量:
坐标系就用你建立的。
P的坐标:x=0,y=0,z=PO=4,P(0,0,4);
A的坐标:x=0,y=-AO=-3,z=0,A(0,-3,0);
C的坐标:x=-CD=-BC/2=-4,y=OD=2,z=0,C(-4,2,0)
向量PA=(0,-3,-4),向量PC=(-4,2,-4)
向量PA×向量PC=
i,j,k
0,-3,-4
-4,2,-4
=(12+8)i+16j-12k=(20,16,-12)=4(5,4,-3)=20(1,4/5,-3/5)
或者设法向量为(x,y,z),令x=1,根据向量点积=0,互相垂直的定理,
0-3y-4z=0
-4+2y-4z=0
相减:-4+5y=0,y=4/5,z=-3y/4=-3/5,法向量(1,4/5,-3/5)
两种方法,求得的法向量是倍数关系,长短不同,同向或者反向,都与对应平面垂直。
追答
写出PAC的方程。P在z轴上,zP=4是平面在z轴上的截距,A在y轴上,yA=-3是平面在y轴上的截距。
设x轴上的截距是k
平面方程
x/k十y/(-3)十z/4=1
C(-4,2,0)代入
-4/k十2/(-3)十0=1
-4/k=5/3
k=-4×3/5=-12/5
平面方程
x/(-12/5)十y/(-3)十z/4=1
5x十4y-3z十12=0
法向量(5,4,-3)
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